BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. Lí thuyết cần nhớ
1. Định nghĩa
Kí hiệu $K$ là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng và $y=f\left( x
\right)$ là hàm số xác định trên $K$.
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $\forall {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\in K$, ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left({{x}_{1}}\right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến trên $K$
nếu $\forall {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\in K$, ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow
f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm
số đơn điệu
a) Điều kiện cần: Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $I$.
- Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $I$ thì ${f}'\left(
x \right)\ge 0$ với mọi $x\in I$.
- Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $I$ thì ${f}'\left(
x \right)\le 0$ với mọi $x\in I$.
b) Điều kiện đủ: Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $I$.
- Nếu ${f}'\left( x \right)>0$ với mọi $x\in I$ thì hàm số $f\left(
x \right)$ đồng biến trên khoảng $I$.
- Nếu ${f}'\left( x \right)<0$ với mọi $x\in
I$ thì hàm số $f\left( x \right)$ nghịch
biến trên khoảng $I$.
- Nếu ${f}'\left( x \right)=0$ với mọi $x\in
I$ thì
hàm số $f\left( x \right)$ không đổi
trên khoảng $I$ (hàm số $f(x)$ còn gọi
là hàm hằng trên khoảng $I$).
3. Định lý mở rộng
Cho hàm số $y=f\left( x
\right)$ có đạo hàm trên khoảng $I$. Nếu ${f}'\left(
x \right)\ge 0$ với mọi $x\in I$ (hoặc ${f}'\left( x \right)\le 0$ với mọi $x\in
I)$ và ${f}'\left( x \right)=0$ chỉ tại
một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng $I$.
Ví
dụ: Hàm số $y=2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+6x-1$ có ${y}'=6{{x}^{2}}+12x+6=6{{(x+1)}^{2}}\ge
0,\forall x\in \mathbb{R}.$
${y}'=0\Leftrightarrow
x=-1$và $y'>0$ với mọi $x\ne -1$ . Theo định lý mở rộng, ta có thể thấy hàm
số đã cho luôn đồng biến.
4. Ứng dụng của tính đơn điệu hàm số
Bài toán 1: Giải phương trình $f\left( x
\right)=0$ có tập xác định $D$
- Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến, hàm $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$ thì phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ có nhiều nhất không quá 1 nghiệm trên $K$.
- Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ đơn điệu trên $K$ thì $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$, với $u$, $v\in K$.
Bài toán 2: Giải bất phương trình $f\left(
x \right)>0$ có tập xác định $D$ (tương tự cho các bất phương trình $f\left(
x \right)<0$ ; $f\left( x \right)\ge 0$ ; $f\left( x \right)\le
0)$
- Giả sử $f\left( x \right)$ đồng biến (nghịch biến) trên $D$ và ${{x}_{o}}\in D$ sao cho $f\left( {{x}_{o}} \right)=0$.
Khi đó, bất phương trình $f\left( x
\right)>0\Leftrightarrow f\left( x \right)>f\left( {{x}_{o}} \right)\Leftrightarrow
x>{{x}_{o}}$(hoặc $x<{{x}_{o}})$.
- Biến đổi bất phương trình về dạng $F\left( g\left( x \right) \right)>F\left( h\left( x \right) \right)$, trong đó $F\left( t \right)$ là hàm đồng biến (nghịch biến) trên $K$ ; $g\left( x \right)$ và $h\left( x \right)$ thuộc $K$, với mọi $x\in D$.
Khi đó, bất phương trình $F\left( g\left(
x \right) \right)>F\left( h\left( x \right) \right)\Leftrightarrow g\left( x
\right)>h\left( x \right)$ (hoặc $g\left( x \right)<h\left( x \right))$.
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: Xét khoảng đồng
biến, nghịch biến của hàm số
Câu 1: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}+x-1$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến
trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right)$.
C. Hàm số đã cho đồng biến
trên $\left( 1;+\infty\right)$ và
nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right)$.
D. Hàm số đã cho đồng biến
trên $\left( -\infty ;1 \right)$ và nghịch biến
$\left( 1;+\infty\right)$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có ${y}'={{x}^{2}}+2x+1={{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${y}'=0\Leftrightarrow x=-1$.
Theo định lý mở rộng suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án A
Ta có ${y}'={{x}^{2}}+2x+1={{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${y}'=0\Leftrightarrow x=-1$.
Theo định lý mở rộng suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án A
A. $\left( -1;3 \right)$.
B. $\left( -\infty ;-3 \right)$.
C. $\mathbb{R}$.
D. $\left( -\infty ;-1 \right)$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x-9$, ${y}'=0\Rightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{align*} \right.$.
Bảng xét dấu ${y}':$
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;3 \right)$. Đáp án A.
Lưu ý: Hệ số tự do không ảnh hưởng đến kết quả của đạo hàm. Không phải bài toán nào chứa tham số cũng khó!
Câu 3: Hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khiBảng xét dấu ${y}':$
Lưu ý: Hệ số tự do không ảnh hưởng đến kết quả của đạo hàm. Không phải bài toán nào chứa tham số cũng khó!
A. $\left[ \begin{align*} & a=b=0;\,\text{ }c>0 \\ & {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align*} \right.$.
B. $\left[ \begin{align*} & a=b=c=0 \\ & a>0;\,\text{ }{{b}^{2}}-3ac\end{align*}\right.$
C. $\left[ \begin{align*} & a=b=0;\text{ }\,c>0 \\ & a>0;\,\text{ }{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align*} \right.$.
D. $\left[ \begin{align*} & a=b=0;\,\text{ }c>0 \\ & a>0;\text{ }\,{{b}^{2}}-3ac\ge 0 \\ \end{align*} \right.$.
Để cô lập vấn đề, trước tiên ta sẽ xét hai trường hợp là: $a=b=0$ và $a\ne 0.$
Nếu $a=b=0$ thì $y=cx+d$ là hàm bậc nhất. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $c>0$.
Nếu $a\ne 0$, ta có ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a>0 \\ & {\Delta }'\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow$$ \left\{ \begin{align*} & a>0 \\ & {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align*} \right.$. Đáp án C
Lưu ý: Xét dấu biểu thức ${{b}^{2}}-3ac$ sẽ cho ta rất nhiều thông tin của hàm bậc 3. Bạn đọc sẽ được tìm hiểu trong các phần sau của chương hàm số này.
Nếu $a=b=0$ thì $y=cx+d$ là hàm bậc nhất. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $c>0$.
Nếu $a\ne 0$, ta có ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a>0 \\ & {\Delta }'\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow$$ \left\{ \begin{align*} & a>0 \\ & {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align*} \right.$. Đáp án C
Lưu ý: Xét dấu biểu thức ${{b}^{2}}-3ac$ sẽ cho ta rất nhiều thông tin của hàm bậc 3. Bạn đọc sẽ được tìm hiểu trong các phần sau của chương hàm số này.
A. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1,+\infty )$ .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1,+\infty )$.
D. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x-3=-3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$. Đáp án A
Ta có ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x-3=-3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$. Đáp án A
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$ .
B. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
C. Hàm số đồng biến trên $(-9;-5)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(5;+\infty )$.
Đáp án B
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+6x-9=3\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)$.
Xét ${y}'=0$ có 2 nghiệm đơn là $x=1$ và $x=-3$ nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2$.
B. $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+2$.
C. $y=-{{x}^{3}}+3x+1$.
D. $y=2{{x}^{3}}+5x-1$.
Để giải nhanh bài này, ta dùng phương pháp loại trừ:
Hàm đa thức bậc 3 nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì hệ số $a<0$ $\rightarrow$ Loại đáp án A và D.
Xét đáp án B: Ta có ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x-3=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${y}'=0\Leftrightarrow x=1$.
Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án B
Hàm đa thức bậc 3 nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì hệ số $a<0$ $\rightarrow$ Loại đáp án A và D.
Xét đáp án B: Ta có ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x-3=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${y}'=0\Leftrightarrow x=1$.
Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án B
A. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)$.
B. $\left( 0;+\infty \right)$.
C. $\left( -\frac{1}{2};+\infty \right)$.
D. $\left( -\infty ;0 \right)$.
Đáp án B
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có ${y}'=8{{x}^{3}}$; ${y}'=0\Leftrightarrow x=0$. Bảng xét dấu ${y}':$
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có ${y}'=8{{x}^{3}}$; ${y}'=0\Leftrightarrow x=0$. Bảng xét dấu ${y}':$
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$.
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.
Đáp án D
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'=8{{x}^{3}}-8x=8x\left( {{x}^{2}}-1 \right);\,\,{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align*} \right.$.
Bảng xét dấu ${y}':$
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$; nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 0\,;1 \right)$. Đáp án D
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'=8{{x}^{3}}-8x=8x\left( {{x}^{2}}-1 \right);\,\,{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align*} \right.$.
Bảng xét dấu ${y}':$
A. $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$.
B. $y=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1$.
C. $y=-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2$.
D. $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$.
Ở mức độ khởi đầu, bạn đọc nên lập bảng biến thiên của cả 4 hàm số
cho thành thạo.
Khi xét các hàm số, ta thấy chỉ có hàm số ở đáp án B thỏa mãn:
Xét B: $y=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1\Rightarrow
{y}'=-3{{x}^{2}}+2x-2<0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến
trên $\mathbb{R}$.
®
Đáp án B
Lưu ý: Khi làm bài thi trắc nghiệm
ta có thể dùng phương pháp loại trừ.
Hàm trùng phương không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ® Loại đáp án C và D.
Hàm đa thức bậc 3 nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $a<0$ ® Loại đáp án A.
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$.
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
Đáp án D
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có ${y}'=\frac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}>0$, $\forall x\ne 1$.
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;1 \right)$ và $\left( 1\,;+\infty \right)$.Đáp án D
Lưu ý: Công thức tính đạo hàm nhanh cho hàm bậc nhất trên bậc nhất như sau:
Cho $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc\ne 0;c\ne 0$.
Khi đó $y'=\frac{ad-bc}{{{(cx+d)}^{2}}}$.
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có ${y}'=\frac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}>0$, $\forall x\ne 1$.
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;1 \right)$ và $\left( 1\,;+\infty \right)$.Đáp án D
Lưu ý: Công thức tính đạo hàm nhanh cho hàm bậc nhất trên bậc nhất như sau:
Cho $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc\ne 0;c\ne 0$.
Khi đó $y'=\frac{ad-bc}{{{(cx+d)}^{2}}}$.
A. Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}.$
B. Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -3 \right\}.$
C. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( -\infty ;0 \right).$
D. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right).$
Đáp án D
Tập xác định: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -3 \right\}.$
Ta có: ${y}'=\frac{7}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}>0,\text{ }\forall x\ne -3.$
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-3 \right)$ và $\left( -3;+\infty \right)$.
Vì $\left( 3\,;+\infty \right)\subset \left( -3\,;+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right).$
$\rightarrow$ Đáp án D
Tập xác định: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -3 \right\}.$
Ta có: ${y}'=\frac{7}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}>0,\text{ }\forall x\ne -3.$
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-3 \right)$ và $\left( -3;+\infty \right)$.
Vì $\left( 3\,;+\infty \right)\subset \left( -3\,;+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right).$
$\rightarrow$ Đáp án D
A. $y=\frac{x-2}{x+2}$.
B. $y=\frac{-x+2}{x+2}$.
C. $y=\frac{x-2}{-x+2}$.
D. $y=\frac{x+2}{-x+2}$.
Xét B: có ${y}'=\frac{-4}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}<0$, $\forall
x\ne -2$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
® Đáp án B
Câu 13: Hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+5}{x+1}$ nghịch biến trên các khoảng
nào ?
A. $(-\infty ;-4)$và $(2;+\infty
)$ .
B. $(-4;2)$ .
C. $(-\infty ;-1)$và $(-1;+\infty )$ .
D. $(-4;-1)$và $(-1;2)$
.
TXĐ: $D=\mathbb{R}\ \backslash \{-1\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$.
Ta có $y'=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{(x+1)}^{2}}},$$y'=0\Rightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Rightarrow \left[ \begin{align*} & x=2 \\ & x=-4 \\ \end{align*} \right.$
. Bảng xét dấu ${y}'$:
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-4;-1)$ và $(-1;2)$. $\rightarrow$ Đáp án D
Câu 14: Hàm số$y=\frac{3}{5}{{x}^{5}}-3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-2$ đồng biến trên khoảng nào?Ta có $y'=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{(x+1)}^{2}}},$$y'=0\Rightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Rightarrow \left[ \begin{align*} & x=2 \\ & x=-4 \\ \end{align*} \right.$
. Bảng xét dấu ${y}'$:
A. $(-\infty ;0)$ .
B. $\mathbb{R}$.
C. $(0;2)$ .
D. $(2;+\infty )$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y'=3{{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
Áp dụng định lý mở rộng, ta có hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án B
Ta có: $y'=3{{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
Áp dụng định lý mở rộng, ta có hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án B
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( 1;4 \right).$
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( 1;\frac{5}{2} \right).$
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( \frac{5}{2};4 \right).$
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
Tập xác định: $D=\left[ 1\,;4 \right].$
Ta có ${y}'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$, $y'=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=\sqrt{4-x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*}& x\in \left( 1;4 \right) \\ & x-1=4-x \\ \end{align*} \right.\Rightarrow x=\frac{5}{2}\in \left( 1;4 \right)$.
Bảng xét dấu ${y}':$
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{5}{2};4 \right).$ $\rightarrow$ Đáp án C
Ta có ${y}'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$, $y'=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=\sqrt{4-x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*}& x\in \left( 1;4 \right) \\ & x-1=4-x \\ \end{align*} \right.\Rightarrow x=\frac{5}{2}\in \left( 1;4 \right)$.
Bảng xét dấu ${y}':$
A. $\left( 0;\frac{7\pi }{12} \right)$ và $\left( \frac{11\pi }{12};\pi \right)$.
B. $\left( \frac{7\pi }{12};\frac{11\pi }{12} \right)$.
C. $\left( 0;\frac{7\pi }{12} \right)$và $\left( \frac{7\pi }{12};\frac{11\pi }{12} \right)$
D. $\left( \frac{7\pi }{12};\frac{11\pi }{12} \right)$và $\left( \frac{11\pi }{12};\pi \right)$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y'=\frac{1}{2}+\sin 2x;\quad y'=0\Leftrightarrow \sin 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ & x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \\ \end{align*} \right.$ ,$k\in \mathbb{Z}$
Với $x\in [0;\pi ]\Rightarrow \left[ \begin{align*} & x=\frac{7\pi }{12} \\ & x=\frac{11\pi }{12} \\ \end{align*} \right.$
Bảng xét dấu $y':$
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( 0;\frac{7\pi }{12} \right)$ và$\left( \frac{11\pi }{12};\pi \right)$ $\rightarrow$ Đáp án A
Ta có: $y'=\frac{1}{2}+\sin 2x;\quad y'=0\Leftrightarrow \sin 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ & x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \\ \end{align*} \right.$ ,$k\in \mathbb{Z}$
Với $x\in [0;\pi ]\Rightarrow \left[ \begin{align*} & x=\frac{7\pi }{12} \\ & x=\frac{11\pi }{12} \\ \end{align*} \right.$
Bảng xét dấu $y':$
A. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số đồng biến trên $\left( \frac{\pi }{4}+k\pi ;+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;\frac{\pi }{4}+k\pi \right)$ .
C. Hàm số nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{4}+k\pi ;+\infty \right)$và đồng biến trên khoảng .$\left( -\infty ;\frac{\pi }{4}+k\pi \right)$.
D. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có $y'=1-\sin 2x\ge 0\ \ \ \forall x\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow $ Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án A
Ta có $y'=1-\sin 2x\ge 0\ \ \ \forall x\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow $ Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án A
A. $\left( -2;0 \right)$
B. $\left( -\infty ;-2 \right)$
C. $\left( 0;2 \right)$
D. $\left( 0;+\infty \right)$
Nhận thấy $y'<0$ trên khoảng $(-2;0)$, các khoảng còn lại đều không thỏa mãn.
$\rightarrow$Đáp án A
A. $y={{\left( x-1 \right)}^{2}}+2$.
B. $y=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$.
C. $y=\frac{x}{x+1}$.
D. $y=\tan x$.
Xét hàm số $y=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có $y'=\frac{1}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án B.
Ta có $y'=\frac{1}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án B.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1-\sqrt{5}\,;\,1 \right)$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1+\sqrt{5}\,;\,+\infty \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0\,;2 \right)$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1\,;2 \right)$.
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( 1-\sqrt{5}\,;\,1 \right)$; $\left( 1+\sqrt{5}\,;\,+\infty \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;\,1-\sqrt{5} \right)$; $\left( 1\,;\,1+\sqrt{5} \right)$.Nên đáp án A, B đúng
Do $\left( 1\,;2 \right)\subset \left( 1\,;\,1+\sqrt{5} \right)$ nên đáp án D đúng. Chỉ còn lại đáp án C sai $\rightarrow$ Đáp án C
Do $\left( 1\,;2 \right)\subset \left( 1\,;\,1+\sqrt{5} \right)$ nên đáp án D đúng. Chỉ còn lại đáp án C sai $\rightarrow$ Đáp án C
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\,\infty ;-1 \right)\cup \left( -\,1;0 \right)$.
B. Hàm số nghịch biết trên khoảng $\left( -\infty \,;0 \right)$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0\,;1 \right)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1\,;+\infty \right)$.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\,\infty ;-1 \right)$ và $\left( -\,1;0 \right)$$\rightarrow$ A sai (sai chỗ dấu $\cup $) và B sai.
Hàm số đồng biến khoảng $\left( 0\,;\,+\,\infty \right)$ $\rightarrow$ C đúng vì $\left( 0\,;1 \right)\subset \left( 0\,;\,+\infty \right)$. $\rightarrow$ Đáp án C.
Hàm số đồng biến khoảng $\left( 0\,;\,+\,\infty \right)$ $\rightarrow$ C đúng vì $\left( 0\,;1 \right)\subset \left( 0\,;\,+\infty \right)$. $\rightarrow$ Đáp án C.
Câu 22: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?A. Hàm số đồng biến trên $\left( 1;+\,\infty \right).$
B. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,\infty ;-\,1 \right)$ và $\left( 1;+\,\infty \right).$
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\,1;1 \right).$
D. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,\infty ;-\,1 \right)\cup \left( 1;+\,\infty \right).$
Dựa vào đồ thị ta thấy: Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$, nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ nên các khẳng định A, B, C đúng. $\rightarrow$ Đáp án D
Câu 23: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,\infty ;0 \right)$ và $\left( 0;+\,\infty \right)$.
B. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,1;0 \right)\cup \left( 1;+\,\infty \right).$
C. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,\infty ;-\,1 \right)$ và $\left( 1;+\,\infty \right).$
D. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,1;0 \right)$ và $\left( 1;+\,\infty \right).$
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -1\,;0 \right)$; $\left( 1;\,+\infty \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;-1 \right)$; $\left( 0\,;\,1 \right)$. $\rightarrow$ Đáp án D.
Câu 24: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right).$
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \frac{-1}{2};+\infty \right).$
C. Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-2 \right).$
D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
Ta cần chú ý đồ thị hàm số xuất hiện trong đề bài là của ${f}'\left( x \right)$.
Dựa vào đồ thị của hàm số ${f}'\left( x \right)$, ta có bảng xét dấu như sau:
$\rightarrow$ Đáp án A
Dựa vào đồ thị của hàm số ${f}'\left( x \right)$, ta có bảng xét dấu như sau:
Câu 25: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right).$
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2\,;1 \right).$
C. Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-2 \right).$
D. Hàm số nghịch biến trên $\left( -2\,;\,1 \right)$
Dựa vào đồ thị của hàm số ${f}'\left( x \right)$, ta có bảng xét dấu như sau:
$\rightarrow$ Đáp án D
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\,2;+\,\infty \right).$
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\,\infty ;-\,2 \right)$ và $\left( 0;+\,\infty \right).$
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\,\infty ;-\,2 \right)$ và $\left( 0;+\,\infty \right).$
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\,2;0 \right).$
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{align*} \right.$.
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\,2;+\,\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( -\,\infty ;-\,2 \right)$. $\rightarrow$ Đáp án A.
A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0\,;\,+\infty \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0\,;\,+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*}
& x=0\, \\
& x=1\, \\
\end{align*} \right.$.
Nhận thấy $x=0$ là nghiệm bội lẻ, $x=1$ là nghiệm bội chẵn.
Bảng xét dấu ${f}'\left( x \right):$
$\rightarrow$ Đáp án B
Lưu ý: Dấu của ${f}'\left( x \right)$ không đổi khi qua nghiệm bội chẵn.
Nhận thấy $x=0$ là nghiệm bội lẻ, $x=1$ là nghiệm bội chẵn.
Bảng xét dấu ${f}'\left( x \right):$
Lưu ý: Dấu của ${f}'\left( x \right)$ không đổi khi qua nghiệm bội chẵn.
A. $f\left( 2 \right)+f\left( \pi \right)< f\left( 3 \right)+f\left( 4 \right).$
B. $f\left( 2 \right)-f\left( \pi \right)\ge 0.$
C. $f\left( 2 \right)+f\left( \pi \right)<2f\left( 2 \right).$
D. $f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)=2f\left( 4 \right).$
Từ giải thiết suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
$\Rightarrow f\left( 2 \right)< f \left( 3 \right)$ và $f \left( \pi \right) < f \left( 4 \right)$
Từ đó ta có$ f \left( 2 \right)+f \left( \pi \right) < f \left( 3 \right)+f \left( 4 \right).$ $\rightarrow$ Đáp án A.
$\Rightarrow f\left( 2 \right)< f \left( 3 \right)$ và $f \left( \pi \right) < f \left( 4 \right)$
Từ đó ta có$ f \left( 2 \right)+f \left( \pi \right) < f \left( 3 \right)+f \left( 4 \right).$ $\rightarrow$ Đáp án A.
Dạng 2: Tìm $m$ để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định
Câu 29: Tìm tất cả các giá trị tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{-{{x}^{3}}}{3}-m{{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x+2-m$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. $-3\leq m\leq 1$.
B. $m\leq 1$.
C. $-3 < m < 1$.
D. $m \leq-3; m \geq 1 $.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có ${y}'=-{{x}^{2}}-2mx+2m-3$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow $${y}'\le 0\quad\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=-1<0\,,\,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}+4\left( 2m-3 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -3\le m\le 1$. $\rightarrow$ Đáp án A
Lưu ý : Ta có thể giải nhanh bằng cách xét hệ điều kiện : $\left\{ \begin{align*} & a<0 \\ & {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align*} \right.$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow $${y}'\le 0\quad\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=-1<0\,,\,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}+4\left( 2m-3 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -3\le m\le 1$. $\rightarrow$ Đáp án A
Lưu ý : Ta có thể giải nhanh bằng cách xét hệ điều kiện : $\left\{ \begin{align*} & a<0 \\ & {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align*} \right.$.
A. $m>1$.
B. $m \le 1$.
C. $m<1$.
D. $m \ge 1$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{\ m\}$ . Ta có $y'=\frac{{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1}{{{(x-m)}^{2}}}$ .
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'\ge 0$, $\forall x\in D$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1\ge 0$, $\forall x\in D$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=1>0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\le 1$.
$\rightarrow$ Đáp án B
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'\ge 0$, $\forall x\in D$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1\ge 0$, $\forall x\in D$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=1>0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\le 1$.
$\rightarrow$ Đáp án B
A. 0.
B. Vô số.
C. 4037.
D. 4036.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ . Ta có $y'=1-m\sin x$ .
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\sin x\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$ .
Trường hợp 1: $m=0$ , ta có $0\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$ . Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Trường hợp 2: $m>0$ , ta có $\sin x\le \frac{1}{m},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{1}{m}\ge 1\Leftrightarrow m\le 1.$
Trường hợp 3: $m<0$ , ta có $\sin x\ge \frac{1}{m},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{1}{m}\le -1\Leftrightarrow m\ge -1.$
Mà $m \in \mathbb{Z},\,\,-2019 < m < 2019$ nên $m \in \left \{ -2018\,;\,-2017\,;...;\,2018 \right\}$$\Rightarrow $Có 4037 giá trị thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án C
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\sin x\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$ .
Trường hợp 1: $m=0$ , ta có $0\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$ . Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Trường hợp 2: $m>0$ , ta có $\sin x\le \frac{1}{m},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{1}{m}\ge 1\Leftrightarrow m\le 1.$
Trường hợp 3: $m<0$ , ta có $\sin x\ge \frac{1}{m},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{1}{m}\le -1\Leftrightarrow m\ge -1.$
Mà $m \in \mathbb{Z},\,\,-2019 < m < 2019$ nên $m \in \left \{ -2018\,;\,-2017\,;...;\,2018 \right\}$$\Rightarrow $Có 4037 giá trị thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án C
A. 0.
B. Vô số.
C. 2.
D. 1.
Ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6(m+2)x+6(m+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*}
& x=1 \\
& x=m+1 \\
\end{align*} \right.$ .
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow m=0$.
$\rightarrow$ Đáp án D
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow m=0$.
$\rightarrow$ Đáp án D
A. $m=-5$.
B. $m=0$.
C. $m=-1$.
D. $m=-6$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có $y'={{x}^{2}}+2mx-m$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=1>0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}+4m\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -1\le m\le 0$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $m=-1$.
$\rightarrow$ Đáp án C
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=1>0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}+4m\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -1\le m\le 0$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $m=-1$.
$\rightarrow$ Đáp án C
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. Vô số.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{-m\}$. Ta có
$y'=\frac{{{m}^{2}}+3m+2}{{{(x+m)}^{2}}}$ .
YCBT $ \Leftrightarrow y'<0,\forall x \in D \Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m+2<0 \Leftrightarrow -2 < m <-1$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $Không có giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án C
YCBT $ \Leftrightarrow y'<0,\forall x \in D \Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m+2<0 \Leftrightarrow -2 < m <-1$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $Không có giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án C
A. $5$.
B. $4$.
C. Vô số.
D. $3$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ m \right\}$. Ta có $y'=\frac{-{{m}^{2}}+2m+3}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow $ $y'>0,\forall x \ne m$ $\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+3>0 \Leftrightarrow -1< m <3$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;1;2 \right\}.$
$\rightarrow$ Đáp án D
Lưu ý: Thường gặp sai lầm là YCBT $\Leftrightarrow $ $y' \ge 0,\forall x\ne m\Leftrightarrow -1\le m\le 3.$
YCBT $\Leftrightarrow $ $y'>0,\forall x \ne m$ $\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+3>0 \Leftrightarrow -1< m <3$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;1;2 \right\}.$
$\rightarrow$ Đáp án D
Lưu ý: Thường gặp sai lầm là YCBT $\Leftrightarrow $ $y' \ge 0,\forall x\ne m\Leftrightarrow -1\le m\le 3.$
A. $4.$
B. $6.$
C. $7.$
D. $5.$
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=-3{{x}^{2}}-2mx+4m+9.$
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=-1<0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}+12\left( 4m+9 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -9\le m\le -3$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ $m\in \left\{ -9;-8;...;-3 \right\}.$
$\rightarrow$ Đáp án C
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=-1<0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}+12\left( 4m+9 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -9\le m\le -3$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ $m\in \left\{ -9;-8;...;-3 \right\}.$
$\rightarrow$ Đáp án C
A. $m=1$.
B. $m=2$.
C. $m=4$.
D. $m=3$.
Tập xác định $\text{D}=\mathbb{R}$. Ta có: $y'={{x}^{2}}-2mx+4m-3$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=1>0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}-4\left( 4m-3 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow 1\le m\le 3$.
Suy ra giá trị lớn nhất của tham số $m$ thỏa mãn là $m=3.$
$\rightarrow$ Đáp án D
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=1>0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}-4\left( 4m-3 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow 1\le m\le 3$.
Suy ra giá trị lớn nhất của tham số $m$ thỏa mãn là $m=3.$
$\rightarrow$ Đáp án D
A. $4$.
B. $0$.
C. $5$.
D. $1$.
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=m{{x}^{2}}-4x+m+3$.
YCBT $\Leftrightarrow y'\ge 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$.
TH1: $m=0$ thì $y'=-4x+3\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{3}{4}$ (không thỏa mãn).
TH2: $\left\{ \begin{align*} & a=m>0 \\ & \Delta {{'}_{y'}}=-{{m}^{2}}-3m+4\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\ge 1.$
Mà $m \in \mathbb{Z}\,,\,\,m \in \left( -5\,;\,5 \right)$ nên $ m \in \left \{ 1\,;\,2;\,3\,;4 ;5 \right \}$ $\Rightarrow$ Có 5 giá trị của $m$ thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án D
YCBT $\Leftrightarrow y'\ge 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$.
TH1: $m=0$ thì $y'=-4x+3\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{3}{4}$ (không thỏa mãn).
TH2: $\left\{ \begin{align*} & a=m>0 \\ & \Delta {{'}_{y'}}=-{{m}^{2}}-3m+4\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\ge 1.$
Mà $m \in \mathbb{Z}\,,\,\,m \in \left( -5\,;\,5 \right)$ nên $ m \in \left \{ 1\,;\,2;\,3\,;4 ;5 \right \}$ $\Rightarrow$ Có 5 giá trị của $m$ thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án D
A. $m<-2$.
B. $m>-2$.
C. $m\le -2$.
D. $m\ge -2$.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có $y'=\left( m+2 \right){{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x+m-8$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ $y'\le 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$.
TH1: $m+2=0\Leftrightarrow m=-2$, khi đó $y'=-10\le 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
TH2: $\left\{ \begin{align*} & a=m+2<0 \\ & \Delta '={{\left( m+2 \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)\left( m-8 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m+2<0 \\ & 10\left( m+2 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m<-2$.
Vậy $m \le -2$ thì thỏa mãn yêu cầu.
$\rightarrow$ Đáp án C
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ $y'\le 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$.
TH1: $m+2=0\Leftrightarrow m=-2$, khi đó $y'=-10\le 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
TH2: $\left\{ \begin{align*} & a=m+2<0 \\ & \Delta '={{\left( m+2 \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)\left( m-8 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m+2<0 \\ & 10\left( m+2 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m<-2$.
Vậy $m \le -2$ thì thỏa mãn yêu cầu.
$\rightarrow$ Đáp án C
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y'={{x}^{2}}-\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)x+\frac{3}{4}\sin 2\alpha $.
Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)x+\frac{3}{4}\sin 2\alpha \ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*}
& a=1>0,\forall x\in \mathbb{R} \\
& \Delta =1-2\sin 2\alpha \le 0 \\
\end{align*} \right.$
$\Leftrightarrow 1-2\sin 2\alpha \le 0\Leftrightarrow \sin 2\alpha \ge \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{\pi }{6}+k2\pi \le 2\alpha \le \frac{5\pi }{6}+k2\pi $.
$\Leftrightarrow \frac{\pi }{12}+k\pi \le \alpha \le \frac{5\pi }{12}+k\pi $.
$\rightarrow$ Đáp án A
A. $m<1.$
B. $-1\le m\le 1.$
C. $-1 < m <1.$
D. $m\le -1.$
Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-m$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\le \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\le \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,\,\,g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}$
Mà $g'\left( x \right)=\frac{2}{\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2}}>0,\forall \in \mathbb{R}$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=1;\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-1$
$\Rightarrow m\le -1$.
$\rightarrow$ Đáp án D
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\le \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\le \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,\,\,g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}$
Mà $g'\left( x \right)=\frac{2}{\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2}}>0,\forall \in \mathbb{R}$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=1;\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-1$
$\Rightarrow m\le -1$.
$\rightarrow$ Đáp án D
Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=-\sin x+\sqrt{3}\cos x-2m$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow -\sin x+\sqrt{3}\cos x-2m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 2m\le \sqrt{3}\cos x-\sin x,\forall x\in \mathbb{R}.$
$\Leftrightarrow 2m\le 2\sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right),\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 2m\le \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,\left[ 2\sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right) \right].$
Vì $-1\le \sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right)\le 1\Leftrightarrow -2\le 2\sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right)\le 2$
$\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,\left[ \sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right) \right]=-2\Rightarrow 2m\le -2\Leftrightarrow m\le -1$ $\rightarrow$ Đáp án C
$\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,\left[ \sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right) \right]=-2\Rightarrow 2m\le -2\Leftrightarrow m\le -1$ $\rightarrow$ Đáp án C
A. 5.
B. $0.$
C. Vô số.
D. 10.
Ta có: $y'=m+1+\left( 2m-3 \right)\sin x.$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow m+1+\left( 2m-3 \right)\sin x\le 0,\forall x\in \mathbb{R},$ đặt $\sin x=t,t\in \left[ -1;1 \right]$.
$\Rightarrow f\left( t \right)=m+1+\left( 2m-3 \right)t\le 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & f\left( 1 \right)\le 0 \\ & f\left( -1 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & 3m-2\le 0 \\ & -m+4\le 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m\le \frac{2}{3} \\ & m\ge 4 \\ \end{align*} \right.\Rightarrow m\in \varnothing $
$\rightarrow$ Đáp án B
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow m+1+\left( 2m-3 \right)\sin x\le 0,\forall x\in \mathbb{R},$ đặt $\sin x=t,t\in \left[ -1;1 \right]$.
$\Rightarrow f\left( t \right)=m+1+\left( 2m-3 \right)t\le 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & f\left( 1 \right)\le 0 \\ & f\left( -1 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & 3m-2\le 0 \\ & -m+4\le 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m\le \frac{2}{3} \\ & m\ge 4 \\ \end{align*} \right.\Rightarrow m\in \varnothing $
$\rightarrow$ Đáp án B
Dạng 3: Tìm $m$ để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng $\left( a\,;b \right)$
Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ giảm trên khoảng $(-\infty ;1)$ ?
A. $-2 < m <2$ .
B. $-2\le m \le -1$ .
C. $-2 < m \le -1$ .
D. $-2\le m\le 2$ .
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \{ -m \}$. Ta có $ y'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}$.
Hàm số giảm trên khoảng $(-\infty ;1)$ $\Leftrightarrow y'<0, \forall x \in (-\infty ; 1)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {{m}^{2}}-4<0 \\ & 1 \le -m \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -2 < m \le -1$
$\rightarrow$ Đáp án C
Hàm số giảm trên khoảng $(-\infty ;1)$ $\Leftrightarrow y'<0, \forall x \in (-\infty ; 1)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {{m}^{2}}-4<0 \\ & 1 \le -m \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -2 < m \le -1$
$\rightarrow$ Đáp án C
A. $m\le 0$ .
B. $m\le 12$.
C. $m\ge 0$.
D. $m\ge 12$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ . Ta có $y'=3{{x}^{2}}-12x+m$
Cách 1: Hàm số đồng biến trên $(0;\text{+}\infty )$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\,,\forall x>0\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+12x\,,\,\forall x>0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x$ với $x>0$.
YCBT $\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0\,;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)\Leftrightarrow m\ge 12$.
$\rightarrow$ Đáp án D
Cách 2:
TH1: Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & 3>0\,,\forall m \\ & 36-3m\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\ge 12$.
TH2: Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0$.
+) $y'=0$ có nghiệm $x=0\Rightarrow m=0$. Nghiệm còn lại của $y'=0$ là $x=4$ (không thỏa mãn)
+) $y'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & \Delta '>0 \\ & S<0 \\ & P>0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {\Delta }'=36-3m>0 \\ & S=4<0 \\ & P=\frac{m}{3}>0 \\ \end{align*} \right.\Rightarrow m=\varnothing $
Cách 1: Hàm số đồng biến trên $(0;\text{+}\infty )$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\,,\forall x>0\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+12x\,,\,\forall x>0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x$ với $x>0$.
$\rightarrow$ Đáp án D
Cách 2:
TH1: Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & 3>0\,,\forall m \\ & 36-3m\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\ge 12$.
TH2: Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0$.
+) $y'=0$ có nghiệm $x=0\Rightarrow m=0$. Nghiệm còn lại của $y'=0$ là $x=4$ (không thỏa mãn)
+) $y'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & \Delta '>0 \\ & S<0 \\ & P>0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {\Delta }'=36-3m>0 \\ & S=4<0 \\ & P=\frac{m}{3}>0 \\ \end{align*} \right.\Rightarrow m=\varnothing $
A. $m<5$.
B. $-2\le m\le \frac{3}{2}$.
C. $m>-2$.
D. $m<\frac{3}{2}$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x-\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right).$
Xét ${y}'=0$ có ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}+3\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right)=7\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)>0,\forall m.$
$\Rightarrow {y}'=0$ luôn có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ (giả sử ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$).
YCBT $\Leftrightarrow $ ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & \left( {{x}_{1}}-2 \right)+\left( {{x}_{2}}-2 \right)<0 \\ & \left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)\ge 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}<4 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4\ge 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & \frac{2\left( m+1 \right)}{3}<4 \\ & \frac{-\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right)}{3}-2.\frac{2\left( m+1 \right)}{3}+4\ge 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<5 \\ & -2\le m\le \frac{3}{2} \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le \frac{3}{2}$.
$\rightarrow$ Đáp án B
Xét ${y}'=0$ có ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}+3\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right)=7\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)>0,\forall m.$
$\Rightarrow {y}'=0$ luôn có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ (giả sử ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$).
YCBT $\Leftrightarrow $ ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & \left( {{x}_{1}}-2 \right)+\left( {{x}_{2}}-2 \right)<0 \\ & \left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)\ge 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}<4 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4\ge 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & \frac{2\left( m+1 \right)}{3}<4 \\ & \frac{-\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right)}{3}-2.\frac{2\left( m+1 \right)}{3}+4\ge 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<5 \\ & -2\le m\le \frac{3}{2} \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le \frac{3}{2}$.
$\rightarrow$ Đáp án B
A. $m\le 0.$
B. $-1< m <0.$
C. $-1\le m \le 0.$
D. $m \ge -1.$
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+3m\left( m+2 \right)=3.\left[ {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m\left( m+2 \right) \right].$
Cho ${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m\left( m+2 \right)=0$ có $\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m\left( m+2 \right)=1>0,\text{ }\forall m\in \mathbb{R}$. $\Rightarrow{y}'=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x = m \\ & x = m+2 \\ \end{align*} \right.$
Bảng xét dấu ${y}':$
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên $\left( 0\,;1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*}
& m\le 0 \\
& m+2\ge 1 \\
\end{align*} \right.\Leftrightarrow -\,1\le m\le 0.$
$\rightarrow$ Đáp án C
Cho ${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m\left( m+2 \right)=0$ có $\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m\left( m+2 \right)=1>0,\text{ }\forall m\in \mathbb{R}$. $\Rightarrow{y}'=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x = m \\ & x = m+2 \\ \end{align*} \right.$
Bảng xét dấu ${y}':$
$\rightarrow$ Đáp án C
A. $m\ge \frac{12}{7}.$
B. $m\le \frac{12}{7}.$
C. $m\ge 1.$
D. $1\le m\le \frac{12}{7}.$
Ta có ${y}'=-{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+m+3.$
YCBT $\Leftrightarrow y'=-{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+m+3\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 0;3 \right)$
$\Leftrightarrow m\left( 2x+1 \right)\ge {{x}^{2}}+2x-3,\text{ }\forall x\in \left( 0;3 \right)\Leftrightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1},\text{ }\forall x\in \left( 0;3 \right)\,\,\,\left( 1 \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}$ trên khoảng $x\in \left( 0;3 \right)$, ta được $\underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=\frac{12}{7}$.
Suy ra $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=\frac{12}{7}.$
$\rightarrow$ Đáp án A
YCBT $\Leftrightarrow y'=-{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+m+3\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 0;3 \right)$
$\Leftrightarrow m\left( 2x+1 \right)\ge {{x}^{2}}+2x-3,\text{ }\forall x\in \left( 0;3 \right)\Leftrightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1},\text{ }\forall x\in \left( 0;3 \right)\,\,\,\left( 1 \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}$ trên khoảng $x\in \left( 0;3 \right)$, ta được $\underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=\frac{12}{7}$.
Suy ra $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=\frac{12}{7}.$
$\rightarrow$ Đáp án A
A. $m=-\frac{9}{4}$.
B. $m=3$.
C. $m\le 3$.
D. $m=\frac{9}{4}$.
Ta có $y'=3{{x}^{2}}+6x+m$.
YCBT $\Leftrightarrow $ $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\frac{2\sqrt{\Delta '}}{|a|}=1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {\Delta }'=9-3m>0 \\ & \frac{2\sqrt{{{\Delta }'}}}{\left| a \right|}=1 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<3 \\ & \frac{2\sqrt{9-3m}}{3}=1 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<3 \\ & m=\frac{9}{4} \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m=\frac{9}{4}$.
$\rightarrow$ Đáp án D
YCBT $\Leftrightarrow $ $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\frac{2\sqrt{\Delta '}}{|a|}=1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {\Delta }'=9-3m>0 \\ & \frac{2\sqrt{{{\Delta }'}}}{\left| a \right|}=1 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<3 \\ & \frac{2\sqrt{9-3m}}{3}=1 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<3 \\ & m=\frac{9}{4} \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m=\frac{9}{4}$.
$\rightarrow$ Đáp án D
A. $m<1$
B. $1 < m <2.$
C. $m \le 1.$
D. $m \le 2.$
TXĐ:$D=\mathbb{R}$ . Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m-1 \right)x=4x\left[ {{x}^{2}}-\left( m-1 \right) \right];$
$\text{ }y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m-1 \\ \end{align*} \right.$
TH1: $m-1\le 0\Leftrightarrow m\le 1\Rightarrow y'=0$ có một nghiệm $x=0$ và $y'$ đổi dấu từ $''-''$ sang $''+''$ khi qua điểm $x=0\Rightarrow $Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ nên đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$.
Vậy $m\le 1$ thỏa mãn.
TH2: $m-1>0\Leftrightarrow m>1\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{m-1} \\ \end{align*} \right..$
Bảng xét dấu:
Đề hàm số đồng biến trên khoảng $(1;3)$ thì $(1;3) \subset (\sqrt{m-1};+\infty )$ $\Leftrightarrow \sqrt{m-1}\le 1\Leftrightarrow m\le 2$, kết hợp điều kiện $m>1$ ta được $1 < m \le 2$.
$\rightarrow$ Đáp án D
$\text{ }y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m-1 \\ \end{align*} \right.$
TH1: $m-1\le 0\Leftrightarrow m\le 1\Rightarrow y'=0$ có một nghiệm $x=0$ và $y'$ đổi dấu từ $''-''$ sang $''+''$ khi qua điểm $x=0\Rightarrow $Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ nên đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$.
Vậy $m\le 1$ thỏa mãn.
TH2: $m-1>0\Leftrightarrow m>1\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{m-1} \\ \end{align*} \right..$
Bảng xét dấu:
$\rightarrow$ Đáp án D
A. $m\in [-5;2)$.
B. $m\in (-\infty ;2]$.
C. $m\in (2;+\infty )$.
D. $\text{m}\in (-\infty ;-5)$.
TXĐ:$D=\mathbb{R}$.
Nhận xét : Đạo hàm của câu này giống hệt câu trên, dưới đây là một cách giải khác của bài toán:
Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4(m-1)x$ .
Hàm số đồng biến trên $(1;3)\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in (1;3)$
$\Leftrightarrow g(x)={{x}^{2}}+1\ge m,\forall x\in (1;3)$ .
Xét hàm số $g(x)$ với $x\in (1\,;3)$:
Dựa vào bảng biến thiên ta có $m\le \min g(x)\Leftrightarrow m\le 2$.
$\rightarrow$ Đáp án B
Nhận xét : Đạo hàm của câu này giống hệt câu trên, dưới đây là một cách giải khác của bài toán:
Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4(m-1)x$ .
Hàm số đồng biến trên $(1;3)\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in (1;3)$
$\Leftrightarrow g(x)={{x}^{2}}+1\ge m,\forall x\in (1;3)$ .
Xét hàm số $g(x)$ với $x\in (1\,;3)$:
$\rightarrow$ Đáp án B
A. $1\le m<2$ .
B. $m\le 0\vee 1\le m<2$.
C. $m\ge 2$.
D. $m\le 0$.
Điều kiện: $\tan x\ne m$. Đặt $\tan x=t$. Với $x\in \left( 0\,;\frac{\pi }{4} \right)$ thì $t\in \left( 0\,;1 \right)$.
Khi đó hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{t-2}{t-m}$ có ${y}'\left( t \right)=\frac{-m+2}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow {y}'\left( t \right)>0\,,\forall t\in \left( 0\,;1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & -m+2 > 0 \\ & m\notin \left( 0\,;\,1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m < 2 \\ & m \notin \left( 0\,;\,1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & m\le 0 \\ & 1\le m<2 \\ \end{align*} \right.$
$\rightarrow$ Đáp án B
Lưu ý: Khi thực hiện phép đổi biến, ta lưu ý: ${{\left[ f\left( u\left( x \right) \right) \right]}^{\prime }}={f}'\left( u\left( x \right) \right).{u}'\left( x \right)$. Khi đó, việc xét tính đơn điệu của hàm số $y=f\left( u\left( x \right) \right)$ phụ thuộc vào dấu của tích ${f}'\left( u\left( x \right) \right).{u}'\left( x \right)$.
Ở bài trên, $u\left( x \right)=\tan x$ có ${u}'\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}>0$, $\forall x\in \left( 0\,;\frac{\pi }{4} \right)$ nên YCBT $\Leftrightarrow {y}'\left( t \right)>0\,,\forall t\in \left( 0\,;1 \right)$.
Khi đó hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{t-2}{t-m}$ có ${y}'\left( t \right)=\frac{-m+2}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow {y}'\left( t \right)>0\,,\forall t\in \left( 0\,;1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & -m+2 > 0 \\ & m\notin \left( 0\,;\,1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m < 2 \\ & m \notin \left( 0\,;\,1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & m\le 0 \\ & 1\le m<2 \\ \end{align*} \right.$
$\rightarrow$ Đáp án B
Lưu ý: Khi thực hiện phép đổi biến, ta lưu ý: ${{\left[ f\left( u\left( x \right) \right) \right]}^{\prime }}={f}'\left( u\left( x \right) \right).{u}'\left( x \right)$. Khi đó, việc xét tính đơn điệu của hàm số $y=f\left( u\left( x \right) \right)$ phụ thuộc vào dấu của tích ${f}'\left( u\left( x \right) \right).{u}'\left( x \right)$.
Ở bài trên, $u\left( x \right)=\tan x$ có ${u}'\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}>0$, $\forall x\in \left( 0\,;\frac{\pi }{4} \right)$ nên YCBT $\Leftrightarrow {y}'\left( t \right)>0\,,\forall t\in \left( 0\,;1 \right)$.
A. $m\in \left[ 1;+\infty \right)$.
B. $m\in \left( 3;+\infty \right)$.
C. $m\in \left[ 2;3 \right)$.
D. $m\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 2;3 \right).$
Điều kiện : $\tan x\ne m-1$. Đặt $t=\tan x$. Với $x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right).$
Hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{t-2}{t-m+1}\Rightarrow {y}'\left( t \right)=\frac{3-m}{{{\left( t-m+1 \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow {y}'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & 3-m>0 \\ & m-1\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<3 \\ & m-1\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & m\le 1 \\ & 2\le m<3 \\ \end{align*} \right.$.
$\rightarrow$ Đáp án D
Hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{t-2}{t-m+1}\Rightarrow {y}'\left( t \right)=\frac{3-m}{{{\left( t-m+1 \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow {y}'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & 3-m>0 \\ & m-1\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<3 \\ & m-1\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & m\le 1 \\ & 2\le m<3 \\ \end{align*} \right.$.
$\rightarrow$ Đáp án D
A. $m \ge -1$.
B. $m > -1$.
C. $m < -1$.
D. $m \le -1$.
Điều kiện: $\sin x\ne 1$. Đặt $t=\sin x$, với $x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right)$.
Hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{t+m}{t-1}\Rightarrow y'\left( t \right)=\frac{-1-m}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$.
Ta có $t'=\cos x<0,\text{ }\forall x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)$, do đó $t=\sin x$ nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{2};\pi \right)$.
Do đó YCBT $\Leftrightarrow y'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & -1-m>0 \\ & 1\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow -1-m>0\Leftrightarrow m<-1$.
$\rightarrow$ Đáp án C
Hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{t+m}{t-1}\Rightarrow y'\left( t \right)=\frac{-1-m}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$.
Ta có $t'=\cos x<0,\text{ }\forall x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)$, do đó $t=\sin x$ nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{2};\pi \right)$.
Do đó YCBT $\Leftrightarrow y'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & -1-m>0 \\ & 1\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow -1-m>0\Leftrightarrow m<-1$.
$\rightarrow$ Đáp án C
A. $m\in \left( -3;+\infty \right).$
B. $m\in \left( -\infty ;-3 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right).$
C. $m\in \left( -\infty ;-3 \right).$
D. $m\in \left( -3;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right).$
Điều kiện: $\cos x\ne \frac{m}{2}$.
Đặt $t=\cos x$, với $x\in \left( 0;\frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow t\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$.
Hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{2t+3}{2t-m}\Rightarrow y'\left( t \right)=\frac{-2m-6}{{{\left( 2t-m \right)}^{2}}}$.
Ta có $t'=-\sin x<0,\text{ }\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{3} \right)$, do đó $t=\cos x$ nghịch biến trên $\left( 0;\frac{\pi }{3} \right).$
Do đó YCBT $\Leftrightarrow y'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & -2m-6>0 \\ & \frac{m}{2}\notin \left( \frac{1}{2};1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<-3 \\ & m\notin \left( 1;2 \right) \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m<-3.$
$\rightarrow$ Đáp án C
Đặt $t=\cos x$, với $x\in \left( 0;\frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow t\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$.
Hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{2t+3}{2t-m}\Rightarrow y'\left( t \right)=\frac{-2m-6}{{{\left( 2t-m \right)}^{2}}}$.
Ta có $t'=-\sin x<0,\text{ }\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{3} \right)$, do đó $t=\cos x$ nghịch biến trên $\left( 0;\frac{\pi }{3} \right).$
Do đó YCBT $\Leftrightarrow y'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & -2m-6>0 \\ & \frac{m}{2}\notin \left( \frac{1}{2};1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<-3 \\ & m\notin \left( 1;2 \right) \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m<-3.$
$\rightarrow$ Đáp án C
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \{m\}$.
Ta có ${y}'=\frac{2{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-1}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow {y}'\ge 0,\,\forall x>1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-1\ge 0,\,\forall x>1$ $\left( * \right)$
Cho $g(x)=2{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-1$
Xét ${\Delta }'=4{{m}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-2m-1 \right)=2{{\left( m+1 \right)}^{2}}\ge 0\,,\forall m$.
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow $ $\Delta {{'}_{g}}=2{{(m+1)}^{2}}\ge 0,\forall m$ nên (1)$\Leftrightarrow g(x)=0$ có hai nghiệm thỏa ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le 1$.
Điều kiện tương đương là $\left\{ \begin{align*} & 2g(1)=2({{m}^{2}}-6m+1)\ge 0 \\ & \frac{S}{2}=m\le 1 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\le 3-2\sqrt{2}\approx 0,2$ .
Do đó không có giá trị nguyên dương của thỏa yêu cầu bài toán.
$\rightarrow$ Đáp án D
Ta có ${y}'=\frac{2{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-1}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow {y}'\ge 0,\,\forall x>1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-1\ge 0,\,\forall x>1$ $\left( * \right)$
Cho $g(x)=2{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-1$
Xét ${\Delta }'=4{{m}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-2m-1 \right)=2{{\left( m+1 \right)}^{2}}\ge 0\,,\forall m$.
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow $ $\Delta {{'}_{g}}=2{{(m+1)}^{2}}\ge 0,\forall m$ nên (1)$\Leftrightarrow g(x)=0$ có hai nghiệm thỏa ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le 1$.
Điều kiện tương đương là $\left\{ \begin{align*} & 2g(1)=2({{m}^{2}}-6m+1)\ge 0 \\ & \frac{S}{2}=m\le 1 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\le 3-2\sqrt{2}\approx 0,2$ .
Do đó không có giá trị nguyên dương của thỏa yêu cầu bài toán.
$\rightarrow$ Đáp án D
Dạng 4: Tính đơn điệu của hàm hợp
Câu 57: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau
A. $\left( 0;1 \right)$.
B. $\left( 1;+\infty \right)$.
C. $\left( -1;0 \right)$.
D. $\left( -\infty ;0 \right)$.
Ta có ${y}'=2x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)$, ${y}'<0\Leftrightarrow 2x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)<0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & 0 < x <1 \\ & x < -1 \\ \end{align*} \right.$
Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$.
$\rightarrow$ Đáp án A
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & 0 < x <1 \\ & x < -1 \\ \end{align*} \right.$
Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$.
$\rightarrow$ Đáp án A
A. $\left( -1\, ;\,0 \right).$
B. $\left( 0\,;\,2 \right).$
C. $\left( 1\,;\,+\infty \right).$
D. $\left( 0\,;1 \right)$ và $\left( 2\,;+\infty \right).$
Ta có: $y'=\left( 2x-2 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)>0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*}
& x > 2 \\
& 0 < x < 1 \\
\end{align*} \right.$
$\rightarrow$ Đáp án D
$\rightarrow$ Đáp án D
Câu 59: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ đồng biến trên khoảng A. $\left( -\infty ;-\sqrt{2} \right)$
B. $\left( -1;1 \right)$
C. $\left( 1;\sqrt{2} \right)$
D. $\left( 0;1 \right)$
Ta có ${y}'={{\left[ f\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]}^{\prime }}=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)$$\Rightarrow {y}'=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {{x}^{2}}-1=-1 \\ & {{x}^{2}}-1=0 \\ & {{x}^{2}}-1=1 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ & x=\pm \sqrt{2} \\ \end{align*} \right.$.
Mặt khác ta có ${f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & {{x}^{2}}-1>1 \\ & -1<{{x}^{2}}-1<0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x < -\sqrt{2}\vee x > \sqrt{2} \\ & -1 < x < 1 \\ \end{align*} \right.$.
Ta có bảng xét dấu:
Vậy hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.
$\rightarrow$ Đáp án D
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {{x}^{2}}-1=-1 \\ & {{x}^{2}}-1=0 \\ & {{x}^{2}}-1=1 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ & x=\pm \sqrt{2} \\ \end{align*} \right.$.
Mặt khác ta có ${f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & {{x}^{2}}-1>1 \\ & -1<{{x}^{2}}-1<0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x < -\sqrt{2}\vee x > \sqrt{2} \\ & -1 < x < 1 \\ \end{align*} \right.$.
Ta có bảng xét dấu:
$\rightarrow$ Đáp án D
Câu 60: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}} \right)$ đồng biến trên khoảngA. $\left( 1;2 \right)$
B. $\left( -2;-1 \right)$
C. $\left( 1;+\infty \right)$
D. $\left( -1;1 \right)$
Theo đồ thị của $y={f}'\left( x \right)$ ta có: ${f}'\left( x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=-1 \\ & x=1 \\ & x=4 \\ \end{align*} \right.$ và $\left\{ \begin{align*} & {f}'\left( x \right)>0,\,\,\forall x\in \left( -1;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \\ & {f}'\left( x \right)<0,\,\,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;4 \right) \\ \end{align*} \right.$.
Ta có: $y=f\left( {{x}^{2}} \right)\Rightarrow {y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)$.
${y}'=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)=0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1 \\ & {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2 \\ \end{align*} \right.$ và $\left\{ \begin{align*} & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\,\,\forall {{x}^{2}}\in \left( -1;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \\ & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)<0,\,\,\forall {{x}^{2}}\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;4 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\,\,\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( -1;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right) \\ & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)<0,\,\,\forall x\in \left( -2;-1 \right)\cup \left( 1;2 \right) \\ \end{align*} \right.$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}} \right)$ như sau
Theo BBT khoảng $\left( -2;-1 \right)$ thoả yêu cầu.
$\rightarrow$ Đáp án B
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=-1 \\ & x=1 \\ & x=4 \\ \end{align*} \right.$ và $\left\{ \begin{align*} & {f}'\left( x \right)>0,\,\,\forall x\in \left( -1;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \\ & {f}'\left( x \right)<0,\,\,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;4 \right) \\ \end{align*} \right.$.
Ta có: $y=f\left( {{x}^{2}} \right)\Rightarrow {y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)$.
${y}'=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)=0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1 \\ & {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2 \\ \end{align*} \right.$ và $\left\{ \begin{align*} & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\,\,\forall {{x}^{2}}\in \left( -1;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \\ & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)<0,\,\,\forall {{x}^{2}}\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;4 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\,\,\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( -1;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right) \\ & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)<0,\,\,\forall x\in \left( -2;-1 \right)\cup \left( 1;2 \right) \\ \end{align*} \right.$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}} \right)$ như sau
$\rightarrow$ Đáp án B
Câu 61: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị của $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -2019;\,\,2019 \right]$ để hàm số $y=f\left( \cos x+2x+m \right)$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[ 0;\,\,+\infty \right).$ A. $2023.$
B. $2020.$
C. $4038.$
D. $2019.$
Ta có $y'=\left( -\sin x+2 \right).f'\left( \cos x+2x+m \right)$
YCBT $\Leftrightarrow $ $\left( -\sin x+2 \right).f'\left( \cos x+2x+m \right)\ge 0,\,\,\forall x\ge 0$.
Do $-\sin x+2>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $\Rightarrow f'\left( \cos x+2x+m \right)\ge 0,\,\,\forall x\ge 0$
Dựa vào đồ thị ta suy ra $\cos x+2x+m\ge -2,\,\,\forall x\ge 0$ $\Leftrightarrow \cos x+2x\ge -2-m,\,\,\forall x\ge 0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\cos x+2x$ trên $\left[ 0;\,\,+\infty \right)$ có $g'\left( x \right)=-\sin x+2>0,\,\,\forall x\ge 0$ nên $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0; +\infty \right). $
$\Rightarrow \min_{[0:+\infty)} g(x)=g(0)=1$ , và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty$.
$\Rightarrow 1\ge -2-m\Leftrightarrow m\ge -3.$
Do $m\in \mathbb{Z}$, $m\in \left[ -2019;\,\,2019 \right]$ nên $m\in \left\{ -3\,;\,-2\,;\,...\,;2019 \right\}$ nên có 2023 giá trị thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án A
YCBT $\Leftrightarrow $ $\left( -\sin x+2 \right).f'\left( \cos x+2x+m \right)\ge 0,\,\,\forall x\ge 0$.
Do $-\sin x+2>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $\Rightarrow f'\left( \cos x+2x+m \right)\ge 0,\,\,\forall x\ge 0$
Dựa vào đồ thị ta suy ra $\cos x+2x+m\ge -2,\,\,\forall x\ge 0$ $\Leftrightarrow \cos x+2x\ge -2-m,\,\,\forall x\ge 0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\cos x+2x$ trên $\left[ 0;\,\,+\infty \right)$ có $g'\left( x \right)=-\sin x+2>0,\,\,\forall x\ge 0$ nên $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0; +\infty \right). $
$\Rightarrow \min_{[0:+\infty)} g(x)=g(0)=1$ , và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty$.
$\Rightarrow 1\ge -2-m\Leftrightarrow m\ge -3.$
Do $m\in \mathbb{Z}$, $m\in \left[ -2019;\,\,2019 \right]$ nên $m\in \left\{ -3\,;\,-2\,;\,...\,;2019 \right\}$ nên có 2023 giá trị thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án A
Câu 62: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có $f(-1)=0$ và có đồ thị hàm số $y={f}'(x)$ như hình vẽ bên. Hàm số $y=\left| 2f(x-1)-{{x}^{2}} \right|$ đồng biến trên khoảngA. $\left( 3;+\infty \right)$.
B. $\left( -1;2 \right)$.
C. $\left( 0;+\infty \right)$.
D. $\left( 0;3 \right)\,.$
Đặt $g(x)=2f(x-1)-{{x}^{2}}\Rightarrow {g}'(x)=2\left[ {f}'(x-1)-(x-1)-1 \right]\,.$
Dựa vào đồ thị hàm số $y={f}'(x)$ và đồ thị hàm số $y=x+1$ ta có: ${g}'(x)>0$
$\Leftrightarrow {f}'(x-1)>(x-1)+1\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)>t+1$ với $t=x-1\,.$
$\Leftrightarrow -1 < t < 2\Rightarrow -1 < x-1 < 2\Leftrightarrow 0 < x <3$.
Lại có, $g(0)=2f(-1)-{{0}^{2}}=0$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số $y=\left| 2f(x-1)-{{x}^{2}} \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$.
$\rightarrow$ Đáp án D
$\Leftrightarrow {f}'(x-1)>(x-1)+1\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)>t+1$ với $t=x-1\,.$
$\Leftrightarrow -1 < t < 2\Rightarrow -1 < x-1 < 2\Leftrightarrow 0 < x <3$.
Lại có, $g(0)=2f(-1)-{{0}^{2}}=0$.
Bảng biến thiên:
$\rightarrow$ Đáp án D
A. $\left( -1\,;\,1 \right)$.
B. $\left( 0\,;\,1 \right)$.
C. $\left( -\infty \,;\,-\sqrt{3} \right) $.
D. $\left( 1\,;\,\sqrt{3} \right)$.
Ta có: $y=g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{2}}-1 \right|+1 \right)=\left\{ \begin{align*}
& f\left( {{x}^{2}} \right)\,\,khi\,\,x>1\vee x<-1 \\
& f\left( 2-{{x}^{2}} \right)\,\,khi\,\ -1\le x\le 1 \\
\end{align*} \right.$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left\{ \begin{align*}
& 2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)\ \,khi\,\,x>1\vee x<-1 \\
& -2x.{f}'\left( 2-{{x}^{2}} \right)\,\,khi\,\ -1\le x\le 1 \\
\end{align*} \right.$
Với $x>1$ hoặc $x<-1$: ${g}'\left( x \right)>0$.
Với $-1\le x\le 1$: ${g}'\left( x \right)>0$
$\Leftrightarrow -2x.{f}'\left( 2-{{x}^{2}} \right)>0\Leftrightarrow x.{f}'\left( 2-{{x}^{2}} \right)<0$
$\rightarrow$ Đáp án B
Với $x>1$ hoặc $x<-1$: ${g}'\left( x \right)>0$.
$\Leftrightarrow -2x.{f}'\left( 2-{{x}^{2}} \right)>0\Leftrightarrow x.{f}'\left( 2-{{x}^{2}} \right)<0$
Dạng 5: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình
Câu 64: Phương trình $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}=4$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 4.
Điều kiện: $\left\{ \begin{align*}
& 3x+1\ge 0 \\
& x+\sqrt{7x+2}\ge 0 \\
\end{align*} \right.$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}$ có ${f}'\left( x \right)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}+\frac{1+\frac{7}{2\sqrt{7x+2}}}{2\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}}>0$.
$\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên tập xác định.
Lại có, $f\left( 1 \right)=4$; $x=1$ thỏa mãn điều kiện nên phương trình có nghiệm nguyên duy nhất $x=1$.
$\rightarrow$ Đáp án A
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}$ có ${f}'\left( x \right)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}+\frac{1+\frac{7}{2\sqrt{7x+2}}}{2\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}}>0$.
$\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên tập xác định.
Lại có, $f\left( 1 \right)=4$; $x=1$ thỏa mãn điều kiện nên phương trình có nghiệm nguyên duy nhất $x=1$.
$\rightarrow$ Đáp án A
A. 11.
B. 12.
C. 10.
D. 14.
Điều kiện: $3x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{-1}{3}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{3x+1}+{{\left( x-1 \right)}^{3}}-2$ có ${f}'\left( x \right)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}+3{{\left( x-1 \right)}^{2}}>0$, $\forall x>\frac{-1}{3}$. $\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên tập xác định.
Lại có, $f\left( 1 \right)=0$ nên bất phương trình tương đương $x\ge 1$.
Do $x\in \mathbb{Z}$, $x\in \left[ -10\,;\,10 \right]$ nên $x\in \left\{ 1\,;\,2\,;\,...\,;\,10 \right\}$$\Rightarrow $Có 10 giá trị của $x$ thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án C
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{3x+1}+{{\left( x-1 \right)}^{3}}-2$ có ${f}'\left( x \right)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}+3{{\left( x-1 \right)}^{2}}>0$, $\forall x>\frac{-1}{3}$. $\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên tập xác định.
Lại có, $f\left( 1 \right)=0$ nên bất phương trình tương đương $x\ge 1$.
Do $x\in \mathbb{Z}$, $x\in \left[ -10\,;\,10 \right]$ nên $x\in \left\{ 1\,;\,2\,;\,...\,;\,10 \right\}$$\Rightarrow $Có 10 giá trị của $x$ thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án C
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. $-4$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{align*}
& x\ge -1 \\
& x\ne 13 \\
\end{align*} \right.$.
Phương trình đã cho tương đương $\left( x+2 \right)\left( \sqrt{x+1}-2 \right)=\sqrt[3]{2x+1}-3$
$\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=2x+1+\sqrt[3]{2x+1}$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x+1}\right)}^{3}}+\sqrt{x+1}={{\left( \sqrt[3]{2x+1} \right)}^{3}}+\sqrt[3]{2x+1}$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt[3]{2x+1}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & x\ge \frac{-1}{2} \\ & {{\left( x+1 \right)}^{3}}={{\left( 2x+1 \right)}^{2}} \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & x\ge \frac{-1}{2} \\ & {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x=0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align*} \right.$.
Vậy tích các nghiệm của phương trình là 0.
$\rightarrow$ Đáp án C
Phương trình đã cho tương đương $\left( x+2 \right)\left( \sqrt{x+1}-2 \right)=\sqrt[3]{2x+1}-3$
$\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=2x+1+\sqrt[3]{2x+1}$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x+1}\right)}^{3}}+\sqrt{x+1}={{\left( \sqrt[3]{2x+1} \right)}^{3}}+\sqrt[3]{2x+1}$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt[3]{2x+1}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & x\ge \frac{-1}{2} \\ & {{\left( x+1 \right)}^{3}}={{\left( 2x+1 \right)}^{2}} \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & x\ge \frac{-1}{2} \\ & {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x=0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align*} \right.$.
Vậy tích các nghiệm của phương trình là 0.
$\rightarrow$ Đáp án C
A. $m<-13\vee m>-9$.
B. $m\le -13\vee m\ge 9$.
C. $-13 < m < -9$.
D. $-13\le m\le -9$.
Phương trình đã cho trở thành ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9=m$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9$ có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$;
Ta có: ${f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align*} \right.$.
Bảng biến thiên:
Vậy phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*}
& m<-13 \\
& m>-9 \\
\end{align*} \right.$.
$\rightarrow$ Đáp án A
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9$ có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$;
Ta có: ${f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align*} \right.$.
Bảng biến thiên:
$\rightarrow$ Đáp án A
A. $\left( \frac{9}{2}\,;\,+\infty \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 0 \right\}$.
B. $\left[ \frac{9}{2}\,;\,+\infty \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 0 \right\}$.
C. $m\in \left( \frac{9}{2}\,;\,+\infty \right)$.
D. $m\in \left[ \frac{9}{2}\,;\,+\infty \right)$.
Phương trình đã cho tương đương $\left\{ \begin{align*}
& 2x+1\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+mx+2={{\left( 2x+1 \right)}^{2}} \\
\end{align*} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*}
& x\ge \frac{-1}{2} \\
& 3{{x}^{2}}+4x-1=mx \\
\end{align*} \right.$ .
Nhận thấy, $x=0$ không là nghiệm của phương trình nên ta có: $\left\{ \begin{align*}
& x\ge \frac{-1}{2} \\
& 3x+4-\frac{1}{x}=m\,\,\left( * \right) \\
\end{align*} \right.$.
YCBT $\Leftrightarrow $Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x$ khác 0 và $x\ge \frac{-1}{2}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=3x+4-\frac{1}{x}$ có ${f}'\left( x \right)=3+\frac{1}{{{x}^{2}}}>0$, $\forall x\in \left[ \frac{-1}{2}\,;\,+\infty \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 0 \right\}$. Bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra $m\ge \frac{9}{2}$.
$\rightarrow$ Đáp án D
YCBT $\Leftrightarrow $Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x$ khác 0 và $x\ge \frac{-1}{2}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=3x+4-\frac{1}{x}$ có ${f}'\left( x \right)=3+\frac{1}{{{x}^{2}}}>0$, $\forall x\in \left[ \frac{-1}{2}\,;\,+\infty \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 0 \right\}$. Bảng biến thiên:
Đăng nhận xét