Tổng hợp kiến thức số phức

1. Khái niệm số phức

• Tập hợp số phức: $\mathbb{C}$.
• Số phức (dạng đại số): $z=a+bi$. Trong đó:

         ▪ $a,\text{ }b\in \mathbb{R}$; $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo.

          ▪ $i$ là đơn vị ảo, ${{i}^{2}}=-1.$

Các thành phần của số phức

• $z$ là số thực $\Leftrightarrow $ phần ảo của $z$ bằng $0$ $\left( b=0 \right)$.
• $z$ là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) $\Leftrightarrow $ phần thực bằng $0$ $\left( a=0 \right)$.
• Số $0$ vừa là số thực vừa là số ảo.

2. Hai số phức bằng nhau

Hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi$ $\left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$ và ${{z}_{2}}=c+di$ $\left( c;\text{ }d\in \mathbb{R} \right)$ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi $a=c$ và $c=d$.  Khi đó ta viết ${{z}_{1}}={{z}_{2}}.$

3. Biểu diễn hình học số phức

Số phức $z=a+bi$ $\left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( a;b \right)$ hay bởi $\overrightarrow{u}=\left( a;b \right)$ trong mặt tọa độ.

Biểu diễn hình học của số phức

4. Phép cộng và phép trừ số phức

Cho hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi$ $\left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$ và ${{z}_{2}}=c+di$ $\left( c;\text{ }d\in \mathbb{R} \right)$. Khi đó:

• ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i$.
• ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i$.
• Số đối của số phức $z=a+bi$ là $-z=-a-bi$.

5. Phép nhân số phức

Cho hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi\text{ }\left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$ và ${{z}_{2}}=c+di\text{ }\left( c;\text{ }d\in \mathbb{R} \right)$. Khi đó:

        ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=\left( a+bi \right)\left( c+di \right)=~\left( acbd \right)+\left( ad+bc \right)i$.

Nhận xét. Với mọi số thực $k$ và mọi số phức $z=a+bi\text{ }\left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$, ta có

        $k.z=k.\left( a+bi \right)=ka+kbi.$

Đặc biệt: $0.z=0$ với mọi số phức $z$.

6. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của $z=a+bi\text{ }\left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$ là $\bar{z}=a-bi$.

Một số tính chất:

• $\bar{\bar{z}}=z$ ; $\overline{z\pm z'}=\overline{z}\pm \overline{z'}$ ; $ \overline{z.z'}=\overline{z}.\overline{z'}$
• $\overline{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{{{{\bar{z}}}_{1}}}{{{{\bar{z}}}_{2}}}$ ; $z.\bar{z}=|z|={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.$
• $z$ là số thực $\Leftrightarrow z=\bar{z}$;
• $z$ là số ảo $\Leftrightarrow z=-\bar{z}$.

7. Môđun của số phức

Môđun của số phức $z=a+bi$ $\left(a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$ là số thực không âm $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ và được kí hiệu là   $|z|$.

Môđun của số phức

Một số tính chất:

• $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ $=\sqrt{z\bar{z}}$ $=\left| \overrightarrow{OM} \right|$   hay ${{\left| z \right|}^{2}}=z.\bar{z}.$
• $\left| z \right|\ge 0,\ \forall z\in \mathbb{C}.$
• $\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0$.
• $\left| z.z' \right|=\left| z \right|.\left| z' \right|$.
• $\left| \frac{z}{z'} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| z' \right|}$.
• $\left| \left| z \right|-\left| z' \right| \right|\le \left| z\pm z' \right|$ $\le \left| z \right|+\left| z' \right|$. 

8. Chia hai số phức

Số phức nghịch đảo của $z$ khác $0$ là số ${{z}^{-1}}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\bar{z}$.

Phép chia hai số phức $z'$ và $z\ne 0$ là $\frac{z'}{z}=z'{{z}^{-1}}=\frac{z'.\bar{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{z'.\bar{z}}{z.\bar{z}}$.

9. Lũy thừa đơn vị ảo $i$

Ta có: $i^0=1$, $i^{1}=i$, $i^{2}=-1$, và $i^{3}=i^{2}.i=-i$,… , bằng quy nạp ta được:

$i^{4n}=1$, $i^{4n+1}=i$, $i^{4n+2}=-1$, và $i^{4n+3}=-i$ ,$\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

Do đó: ${{i}^{n}}\in \left\{ -1;1;-i;i \right\}$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

10. Phương trình bậc hai với hệ số thực

    

    a. Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức ${{i}^{2}}=-1$, ta nói $i$ là một căn bậc hai của $-1$; $-i$ cũng là một căn bậc hai của $-1$, vì ${{\left( -i \right)}^{2}}=-1$. Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn:

Căn bậc hai của $-2$ là $\pm i\sqrt{2}$, vì ${{\left( \pm i\sqrt{2} \right)}^{2}}=-2$ .

Căn bậc hai của $-3$ là $\pm i\sqrt{3}$, vì ${{\left( \pm i\sqrt{3} \right)}^{2}}=-3$ .

Căn bậc hai của $-4$ là $\pm 2i$, vì ${{\left( \pm 2i \right)}^{2}}=-4$ .

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực $a$ âm là $\pm i\sqrt{\left| a \right|}$ .

    b. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với $a,\text{ }b,\text{ }c\in \mathbb{R}$ và $a\ne 0$.

Xét biệt số $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ của phương trình. Ta thấy:

● Khi $\Delta =0$, phương trình có một nghiệm thực $x=-\frac{b}{2a}$;

● Khi $\Delta >0$, có hai căn bậc hai (thực) của $\Delta $ là $\pm \sqrt{\Delta }$ và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức ${{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\vartriangle }}{2a}$;

● Khi $\Delta <0$ phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của $\Delta $. Tuy nhiên, trong trường hợp $\Delta <0$, nếu xét trong tập hợp số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của $\Delta $ là $\pm i\sqrt{\left| \Delta  \right|}$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức ${{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left| \Delta  \right|}}{2a}$.

(Sưu tầm)